Stel je vraag
2

wiskunde augustus 2016 vraag 15: oppervlakte van cirkel

asked 2016-08-30 16:10:23 -0500

Ibrahim.Khlosi gravatar image

updated 2017-06-28 13:42:59 -0500

Myriam@REBUS gravatar image

Dit is een wiskundevraag die ik vandaag niet heb kunnen oplossen:

Een cirkel gaat door het punt A(-1,0) en raakt de rechte y=2x in het punt B(1,2). Wat is de oppervlakte van die cirkel?

Ik vraag me gewoon af hoe je hier aan begint en hoe je zulke meetkundevragen moet oplossen. Want ik merk dat meetkundevragen een rode draad zijn. Is er een systematische manier van oplossen/denken die je moet aanleren? Zo ja, weet iemand hoe je die kan aanleren?

Alvast bedankt!

edit retag flag offensive close merge delete

7 answers

Sort by » oldest newest most voted
0

answered 2017-08-23 12:56:13 -0500

Myriam@REBUS gravatar image

Ik kan het niet goed lezen, maar misschien is je loodrecht op de raaklijn fout.

Je moet ook het snijpunt nemen van de loodrechte op de raaklijn en de middelloodlijn.

Zie tekening met GEOGEBRA gemaakt

C:\fakepath\augustus 2016 vraag 15.JPG

edit flag offensive delete link more
2

answered 2016-08-30 18:23:01 -0500

updated 2016-08-31 16:57:27 -0500

Een mogelijke oplossingsmethode: Gevraagde is de oppervlakte van de cirkel $=\pi R^2$, waarvoor we de straal dus moeten kennen. Als je vastzit bij meetkunde altijd een schets maken. Als we het middelpunt weten liggen kunnen we met 1 van de 2 gegeven punten de straal berekenen.

Het middelpunt ligt op de straal die loodrecht staat op de raaklijn (eigenschap) en omdat beide gegeven punten op de cirkel liggen en dus beide op een straal afstand van het middelpunt ook op de middelloodlijn op het lijnstuk |AB| (dat is immers de verzameling van alle punten even ver van 2 punten)

Opstellen vergelijking loodrechte op raaklijn: Het product van de rico's van onderling loodrechte rechten is steeds -1, met de rico van de rechte $y=2x$ dus rico $-1/2$ en door punt A(1,2): $y=-1/2(x-1)+2$

Opstellen vergelijking middelloodlijn op |AB|: rico AB is 1 dus rico is $-1/1=-1$ en door midden (A+B)/2=(1-1,2-0)/2=(0,1): $y=-(x-0)+1$

Waar deze 2 rechten snijden ligt het middelpunt van de cirkel, uitrekenen door de y's aan elkaar gelijk te stellen levert $x=-3$ en $y=4$

R is dan de afstand tussen middelpunt en punt A (of B) $R^2=4^2+2^2=20$ De oppervlakte van de cirkel is dus $20 \pi$

edit flag offensive delete link more
2

answered 2016-08-30 18:24:46 -0500

Myriam@REBUS gravatar image

examenvraag augustus.JPG

De rechte raakt aan de cirkel, dus de straal van de cirkel staat loodrecht op de rechte en gaat door dat punt. Zo bekom je voor de rechte door het middelpunt van de cirkel de vergelijking y=-0.5x + 2.5

Als je nu nog zoekt naar het punt op deze rechte dat even ver verwijderd is van de beide punten op de cirkel kom je uit bij middelpunt (-3,4) en is de straal (20^0.5).

De oppervlakte van de cirkel is 20 pi

Je leert dit soort opgaven door de theorie te begrijpen, veel oefeningen te maken en vooral ook te tekenen.

edit flag offensive delete link more

Bespreking:

Ik ben al een tijdje deze oefening aan het proberen op alle mogelijke manieren hierboven vernoemd maar ik kom al x-coördinaat voor het middelpunt telkens -7 uit. Is er een fout in mijn werkwijze of een rekenfout want ik weet niet goed hoe ik het anders zou moeten doen.

Anne-Laure.Vandevelde ( 2017-08-23 10:05:59 -0500 )edit
2

answered 2016-08-30 18:44:09 -0500

Alternatieve methode: Vergelijking van cirkel is $(x-x_m)^2+(y-y_m)^2=R^2$ met $(x_m,y_m)$ de onbekende coordinaten van het middelpunt en R de straal.

Invullen van de 2 punten hun x en y waarden levert al 2 vergelijkingen in 3 onbekenden $x_m$,$y_m$ en $R$. De vergelijking van de loodlijn in A is een mogelijke derde vergelijking. Oplossen van het stelsel geeft het middelpunt waarmee je de straal kan bereken net zoals in de andere methode. (Uitwerken: de haken met kwadraten in de vergelijking van de cirkel uitwerken voor beide punten en van elkaar aftrekken verlost je van alle kwadraten.)

edit flag offensive delete link more
0

answered 2016-08-31 00:41:57 -0500

Ibrahim.Khlosi gravatar image

Heel erg bedankt!

edit flag offensive delete link more
0

answered 2017-06-28 13:41:11 -0500

Myriam@REBUS gravatar image

Hier is dus de vraag 15 van augustus 2016

edit flag offensive delete link more
0

answered 2017-08-23 10:09:46 -0500

Ik ben al een tijdje deze oefening aan het proberen op alle mogelijke manieren hierboven vernoemd maar ik kom al x-coördinaat voor het middelpunt telkens -7 uit. Is er een fout in mijn werkwijze of een rekenfout want ik weet niet goed hoe ik het anders zou moeten doen. In de foto heb ik de loodlijn in A berekend en dan de afstand van het middelunt tot B en tot A gelijkgesteld.! image description

Bedankt!

edit flag offensive delete link more

Geef een antwoord

Geef een antwoord

[verberg preview]
Eureka

Question Tools

Follow
1 follower

Statistieken

Datum: 2016-08-30 16:10:23 -0500

Aantal keer gelezen: 3,440 keer

Laatst gewijzigd: Aug 23