Stel je vraag
1

Moeilijke integraal uitrekenen?

asked 2014-02-26 18:33:47 -0500

dr who gravatar image

updated 2016-06-26 02:08:46 -0500

Koen@REBUS gravatar image

Integreer $$ \int_0^{2\pi} e^{-\phi^2+\phi}\cdot \phi^{2} \ln(1-2x\cos\phi+x^2) \, d\phi. $$ Kan iemand me helpen?

edit retag flag offensive close merge delete

1 answer

Sort by » oldest newest most voted
1

answered 2014-04-12 08:33:00 -0500

Dimitri@Rebus gravatar image

updated 2015-03-13 17:07:01 -0500

yannick gravatar image

Bemerk dat

$$\ln(1-2x\cos\phi+x^2) = -2\sum_{n=1}^{+\infty}T_n(\cos\phi)\frac{x^n}{n}$$

waarin $T_n(x)$ de Chebyshev veeltermen zijn. Daardoor kan de integraal omgevormd worden tot

$$-2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}\int_0^{2\pi} e^{-\phi^2+\phi}\cdot \phi^{2} T_n(\cos\phi) d\phi.$$

De Chebyshev veeltermen hebben de eigenschap dat

$$T_n(\cos\phi)=\cos(n\phi)$$

Dus vereenvoudigt onze integraal nog tot

$$-2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}\int_0^{2\pi} e^{-\phi^2+\phi}\cdot \phi^{2} \cos (n\phi) d\phi.$$

M.a.w. De integraal oplossen is equivalent aan het zoeken van de Fourier-coëfficiënten van $e^{-\phi^2+\phi}\cdot \phi^{2}$.

edit flag offensive delete link more

Bespreking:

Worden we verondersteld dit te kennen?

Jan ( 2014-06-27 08:01:48 -0500 )edit

Dag Jan, we hadden gevraagd aan een student om een testvraag te posten bij de beginfase van deze site. De bovenstaande integraal moet je dus zeker niet kennen voor het toelatingsexamen. Dus geen zorgen :)

yannick ( 2014-06-27 09:53:28 -0500 )edit

Geef een antwoord

Geef een antwoord

[verberg preview]
Eureka

Question Tools

Follow
1 follower

Statistieken

Datum: 2014-02-26 18:33:47 -0500

Aantal keer gelezen: 290 keer

Laatst gewijzigd: Mar 13 '15